Le non-anniversaire, une interprétation mathématique

Alice au Pays des Merveilles, classique du livre pour enfant s’il en est, a l’avantage d’introduire un certain nombre d’éléments de mathématiques et de logique. Cela n’est guère étonnant si l’on considère que son auteur Lewis Carroll (1832-1898) était avant tout un mathématicien. Comme le Chapelier fou est pour quelque raison obscure, cher à mon cœur, je me propose d’expliciter brièvement ici le fameux « non-anniversaire » en tant qu’il renvoi aux théories des mathématiques probabilistes. L’explication ne fait appel qu’à des concepts et à des exemples extrêmement simples que toute personne qui a un temps soit peu étudié les mathématiques connaît et que toute personne douée de bon sens peut comprendre aisément, sans rien connaître à ces mêmes mathématiques.


Le non-anniversaire et la notion d’ensembles complémentaires

Le non-anniversaire désigne tous les jours qui ne sont pas le jour anniversaire. Ce qui correspond en mathématiques probabilistes au « complémentaire » de l’anniversaire dans l’ensemble « tous les jours de l’année ». On a clairement en effet, comme l’explique le Chapelier fou à Alice :

365 jours de l’année = 364 jours de non-anniversaire + 1 jour anniversaire


Les ensembles complémentaires dans la théorie des ensembles

Le mot « complémentaire » n’a de sens que dans un ensemble donné. Car, sur un autre ensemble que « tous les jours de l’année », le complémentaire de « jour anniversaire » peut être différent.

Par exemple, dans l’ensemble « meilleurs jours de l’année » le complémentaire de « jour anniversaire » sera l’ensemble des « journées heureuses » sauf le « jour anniversaire ». Cet ensemble complémentaire comptera par exemple les journées de vacances et les journées où l’on a fêté un succès. Ce qui représentera peut être 10 journées, peut-être 15, peut-être plus, peut-être moins. En tout cas, pas nécessairement 364 journées comme le complémentaire de « jour anniversaire » dans l’univers « jours de l’année ».

Si jamais le complémentaire de « jour anniversaire » dans l’ensemble « jours de l’année » était le même que dans l’ensemble « journées heureuses », qu’est-ce que cela signifierait ? Cela signifierait que nous avons eu une année très heureuse où « meilleurs jours de l’année » = « tous les jours de l’année ».


Intérêt en probabilités

Mais quel est l’intérêt du complémentaire ? Pourquoi le non-anniveraise peut-il être utile ? L’utilité intervient dans le cadre des probabilités.
Rappelons que la probabilité d’un événement simple est une fraction :

P (un événement) = (Nombre possibilités correspondant à l’évènement)/ (L’ensemble des possibles)

Par exemple : quelle est la probabilité, si je choisis au hasard un jour de l’année dans le calendrier (en suposant qu'il y ait exactement 365 jours dans l'année), de tomber sur votre anniversaire ?

P (choisir le bon jour) = (1 jour anniversaire « gagnant »)/ (365 jours possibles parmi lesquels je peux choisir)
C'est-à-dire que la probabilité p de l’événement mentionné est de 1/365.

Maintenant, quelle est la probabilité que je me trompe, que je perde en tirant un jour qui n’est pas votre anniversaire ?

Il y a deux façons de voire les choses et de résoudre le "problème":

- Par le dénombrement de l’ensemble

P (choisir le mauvais jour) = (Nombre de jours perdants à tirer)/ (365 jours possibles parmi lesquels je peux choisir)

Bien sûr, on dénombre facilement l’ensemble des « jours perdants », qui sont au nombre de 364, puisqu’on a qu’un seul jour anniversaire dans une année. Et donc bien sûr, la probabilité p de se tromper est de 364/365.
Remarquez que l’on a pris le complémentaire de l’évènement « choisir le bon jour » en d’autres termes « choisir le jour anniversaire » qui est « choisir le mauvais jour » en d’autre termes « choisir n’importe quel jour mais pas le jour anniversaire ». On a dénombré l’ensemble « n’importe quel jour mais pas le jour anniversaire » instinctivement en faisant « 365 jours – 1 jour = 364 jours » et on a divisé par le nombre de jours parmi lesquels on pouvait choisir soit 365 afin d’obtenir la probabilité.

La théorie généralise la démarche intuitive en disant que pour dénombrer un ensemble non-A complémentaire de A dans l’ensemble B, il suffit de dénombrer B et A et de soustraire car : A + non-A = B

- Directement en termes de probabilités

On peut suivre la même démarche plus rapidement en disant d’emblée que comme A + non-A = B,

p (A) + p (non-A) = p (B)

En effet, p (A) est la probabilité de l’évènement A, c'est-à-dire (le nombre de éléments de A) / (l’ensemble des possibles B). Avec l’exemple, on a (nombre de jours gagnants)/ (365 jours possibles parmi lesquels je peux choisir). De même p (non-A) est la probabilité de l’évènement non-A, c'est-à-dire (le nombre de éléments de non-A) / (l’ensemble des possibles B). Soit (nombre de jours perdants)/ (365 jours possibles parmi lesquels je peux choisir). Quand à p (B), c’est (le nombre des éléments de B) / (l’ensemble des possibles B) soit (nombre de jours de l’année)/ (365 jours possibles parmi lesquels je peux choisir). On voit aisément que p(B) = 1, avec l’exemple, p(B) = 365/365.

On a donc : p(A) + p(non-A) = 1

Nous voulons p (non-A), on voit que d’après l’équation : p (non-A) = 1 – p(A)

Donc si l’on a calculé p(A), on a directement p(non-A).  Dans l’exemple, on aurait : p (jour perdant) = 1- (1/365) = (364/365)

Ainsi, en mathématiques, si l’on ne peut dénombrer A ou non-A, il faut s’intéresser au complémentaire dans l’univers des possibles.

Exemple : J’ai un paquet de 32 cartes, j’y tire une carte au hasard, quelle est la probabilité que cette carte soit de valeur inférieure ou égale à de la dame ?

Il y a plus de cartes au-dessous qu’au-dessus de la dame en valeur. On a donc avantage à dénombrer les cartes au-dessus, c'est-à-dire à étudier l’événement contraire : probabilité que la carte soit de valeur strictement supérieure à la dame. Le roi, et l’as sont strictement supérieurs, sachant qu’il y a 4 cartes de chaque sorte dans un paquet de 32 cartes, le paquet comporte 8 cartes de valeur strictement supérieure à la dame (4 rois et 4 as).
1 – p(non-A) = p (A) donne ici : p = 1 – (8/32)= 24/32 = 3/4 On a donc 75% de chances de tomber sur une carte de valeur inférieure ou égale à la dame.

The Mad Hatter.

Comments

[callophrys]

je comprends bien ce sentiment d'elevation mais je le ressens plutot avec Mozart.

[callophrys]

les mathématiques ont été ,et sont toujours ,ma bête noire!!! tu as sans doute raison dans ton raisonnement (que j'ai quand même lu jusqu'au bout...exploit!!) mais moi,bêtement j'y ai surtout vu qu'un seul jour à être fêté(e) est bien moins intéressant que de faire tous les jours la fête ! je sais ,c'est très terre à terre....enfantin même....

mais par contre je comprends mieux mes réticences quant à "Alice au pays des Merveilles".....(que j'ai eues au moment où tous les enfants se penchent sur cet ouvrage de référence).Tout comme Bach ,dans un autre domaine ne me transporte pas....c'est mathématique! Bach peut être démonté,analysé de façon mathématique (je le savais mais je ne savais pas à quel point!! et c'est hallucinant!!)

Merci pour toutes ces précisions! décidément c'est toujours passionnant de venir te lire

[Le Chapelier fou]

Tout à fait, Bach est tellement mathématique, mais les mathématiques ont un côté très  spirituel. Je n’irai pas jusqu’à dire qu’il faille vénérer les nombres comme les Pythagoriciens,
seulement cette compréhension de notre univers en termes mathématiques est tout de même bien fascinante. Etrangement, jouer du Bach, bien que la structure soit si apparente, me procure un vrai
sentiment d’« élévation ». C’est un sujet tout à fait passionnant. J’écrirais bien un autre petit article à ce sujet… Merci Calloprhys en tout cas pour tes commentaires.